ifadesinde (ax+b) ifadesini sıfır yapan x değerini  ,  ifadede  x gördüğümüz her yere yazalım.  ve buradan da,

 elde edilir.

Örnek1:     polinomunun   ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:  ifadesinde K yı  bulmak için  ifadesini sıfır yapmak gerekiyor. Bunun için (x-1) ifadesini 0 yapan değeri  (yani 1 i) x yerine yazmak gerekiyor.

 ve bulunur. Yani K yı bulmak için P(1) i bulmak gerekiyor.

 verilmiş. Buradan bulunur.

Örnek2:  polinomunun   ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm: in ile bölümünden kalan dir.

 bulunur.

Örnek3:  polinomunun  ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:  in ile bölümünden kalan  tür.

 bulunur.

Örnek4:  polinomunun çarpanlarından biri  ise a kaçtır?

Çözüm: NOT:  in çarpanlarından biri demek ,  in   e tam bölünmesi yani kalanın sıfır olması demektir. Dolayısıyla  olur.

 bulunur.

Örnek5:  polinomunun   ile bölümünden kalan 10 ise a kaçtır?

Çözüm:  in ile bölümünden kalan 10 ise dur.  P(2) yi bulup 10 a eşitleyelim.

 ve buradan da  bulunur.

Örnek6:  polinomu veriliyor. Buna göre  polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

Çözüm:  in katsayılar toplamını bulmak için x yerine 1 yazmamız gerektiğini polinom2 konusunda işlemiştik.

x yerine 1 yazarsak  yi istiyor bizden. Bunun için de  ifadesinde x gördüğümüz yere 2 yazalım. , Yani 5 bulunur.

Örnek7: veriliyor.   polinomunun  ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm: '' polinomunun  ile bölümünden kalan kaçtır?'' ifadesini düşünelim. Bizden  i bulmamızı istiyor. Peki elimizde varken i nasıl buluyorduk. Parantez içindeki (x+1) ifadesinin 1 olması için x yerine ne yazmamız gerektiğini bulmamız gerekiyor.

x+1=1 ise x=0 bulunur.  Yani  ifadesinde x yerine 0 yazacağız.

 bulunur.

!Örnek8:  polinomu veriliyor.   polinomunun  ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm: ''  polinomunun  ile bölümünden kalan kaçtır?'' ifadesini yorumlayalım.

 polinomunun  ile bölümündeki bölüm Q(x) kalan K olsun.

 ifadesinde x gördüğümüz yerlere (-3) yazarsak,  bulunur. O halde kalanı bulmak için  ü bulmamız gerekiyor.

 polinomunda x yerine (-4) yazarsak ,  bulunur.

Örnek9 (örnek 8 in biraz zoru):  polinomu veriliyor.   in  ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm: in  ile bölümünden kalan  dir. (x+3=0 ise x=-3 ve bu (-3) ü teki x yerine yazarsak bulunur. (veya bkz. Örnek8)

Şimdi yi bulmaya çalışacağız. Elimizde  varken   için parantez içini yani (x+1) i 2 ye eşitlememiz gerekiyor. x+1=2 ise x=1 bulunur. Yani x gördüğümüz yerlere  ifadesinde 1 yazalım.

 bulunur.

Örnek10:  polinomunun ile bölümünden kalan 3,  polinomunun  ile bölümünden kalan 4 ise,  polinomunun  ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:  polinomunun ile bölümünden kalan 3 ise  tür.

             polinomunun  ile bölümünden kalan 4 ise   tür.

 polinomunun  ile bölümünde bölüm B(x), kalan K olsun.  olur.

Eşitlikte x gördüğümüz yere 1 yazalım.    olur.

Örnek11:  olarak veriliyor.  polinomunun  ile bölümünden kalan 2 ise  polinomunun  ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm: polinomunun  ile bölümünden kalan 2 ise  dir.

 polinomunun  ile bölümünden kalan da  tür. Bizden ü bulmamız isteniyor.

 ifadesinde  ü bulmak için x yerine 4 yazarız.

, buradan  ve  yi yerine yazarsak  ve  olur.

 polinomunun  ile bölümünden kalan K, bölüm  olsun.  olur.

Kalanı  yerine ('a) yazarak bulacağız.

Örnek12:  polinomunun  ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm: . Yani  yerine 2 yazacağız. (DİKKAT:  yerine  yazmıyoruz.) Polinomu  nin kuvvetlerine göre açarsak,

 şeklinde yazılır. yerine 2 yazarsak,.     Kalan  olur.

Örnek13:  polinomunun   ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm: .   yerine 1 yazacağız. (DİKKAT:  yerine 1 yazmıyoruz). Polinomu  ün kuvvetlerine göre açarsak,

 elde edilir.  Şimdi  yerine 1 yazalım.

.  Kalan  olur.

Örnek14: P(x) polinomunun (x-1) ile blümünden kalan 1 ve, (x+2) ile bölümünden kalan 4 ise P(x) polinomunun

(x-1).(x+2) ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm: P(x) polinomunun (x-1) ile blümünden kalan 2 ise P(1)=2,

              P(x) polinomunun (x+2) ile bölümünden kalan 4 ise P(-2)=4 olur.

P(x) in (x-1).(x+2) yani ile bölümüdeki bölüm B(x) kalan (ax+b) olsun.

x yerine 1 yazarsak, 

x yerine -2 yazarsak  olur.

    denklemlerini çözersek  a=-1 ve b=2 bulunur.  Kalan da  olur.

NOT: Bir polinomun ile bölümünden  kalanı K değilde (ax+b) olarak seçmemizin nedeni polinomun 2. dereceye bölündüğü zaman kalanın en çok 1. Derece olmasıdır.