Tanım: n doğal sayı,  gerçek sayılar olmak üzere,

 şeklinde tanımlanan ifadelere x e göre açılmış bir bilinmeyenli polinom denir.

Örnek1: Aşağıdaki ifadelerin polinom olup olmadığını inceleyelim.

NOT= İnceleme yaparken tanım dikkate alınmalı. (üslerin doğal sayı ve katsayıların reel sayı olması gerekir.)

a)  ifadesi polinomdur.

b)  ifadesi polinom değildir.   (  ve  doğal sayı değil.)

c)  ifadesi polinom değil. ( ve -1 doğal sayı değil)

d)  ifadesi polinom değil. (ifade tam bölünmez ve payda da x li ifade kalır. C şıkkında olduğu gibi)

e)  ifadesi polinomdur.  (b şıkkı ile karıştırmayalım. Üs doğal sayı, katsayı reel sayı olmalı)

f)  ifadesi polinom. (5+ şeklinde düşünülebilir.)

Örnek2: ifadesi polinom belirttiğine göre a nın tamsayı değerleri nedir?

Çözüm: P(x) poinom ise üslerin doğal sayı olması gerekir. Yani;

           olmalı. Buradan da  olur. yani a değerleri dır.

ÖZELLİKLER:

 polinomunda,

 gerçek sayılarına polinomun katsayıları denir.

 ifadelerine polinomun terimleri denir.

P(x) polinomunda x in en büyük kuvveti olan doğal sayıya P(x) polinomunun derecesi denir ve der[P(x)] ile gösterilir.

P(x) polinomunda derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun baş katsayısı denir.

P(x) polinomunda gerçek sayısına polinomun sabit terimi denir.

Örnek3: polinomunun,

a) kat sayıları: -5,8,-2,4

b)baş kat sayısı: -5

c)derecesi: 3

d) sabit terimi:4

1)SIFIR POLİNOM: Tüm katsayıları sıfır olan polinoma denir. Sıfır polinomun derecesi belirsizdir.

P(x)=0 

Örnek1: P(x) sıfır polinom ve

  ise c=?

Çözüm: Katsayıları sıfır olduğundan a-2=0, b+1=0 ve a+b+c=0 olmalı. Buradan

a=2, b=-1 ve 2+(-1)+c=0 ise c=-1 bulunur.

2)SABİT POLİNOM: P(x)=c , () olan polinomdur. Sabit polinomun derecesi sıfırdır.

NOT:Bizim için sabit polinom x siz polinomdur.

Örnek2:  polinomu sabit polinom ise P(2015)=?

Çözüm: Sabit polinom bizim için x siz polinomdur demiştik. x ve kuvvetlerinin olmaması için katsayıları sıfırlamamız gerekiyor. Yani ;

a-1=0,  b-4=0 olmalı. Buradan a=1 ve b=4 olur. P(x) polinomunda yerine yazalım.

P(x)=0+0+1+4+5 ise P(x)=10 ve P(2015) için x yerine 2015 yazılır P(2015)=10 olur.

İki polinomun eşit olması için polinomların eşit dereceli terimlerinin katsayılarının birbirine eşit olması gerekir.

Örnek3:           P(x)=Q(x) ise  a+b+m+n toplamı kaçtır?

Çözüm: P(x) polinomunda  ün katsayısı 3,  Q(x) polinomunda  ün katsayısı olan m ye eşittir. 3=m  olur.

Benzer şekilde  lerin katsayılarını eşitlersek a+1=2 ve a=-1 olur.

P(x) polinomunda x li terim olmadığından katsayıyı 0 alacağız. O yüzden 0=n-2 ve n=2 olur.

Sabit terimleri de eşitleyelim. 'b=3 ve b=-3 olur. Sonuç a+b+m+n=(-1)+(-3)+3+2=1 bulunur.

İki polinom arasında toplama ve çıkarma işlemi yapılırken, aynı dereceden terimlerin katsayıları toplanır.

Örnek4:

a)  olur.

b)  

İki polinom çarpılırken 1.polinomun her bir terimi ile 2. Polinomun her bir terimi ayrı ayrı çarpılır

Örnek5:  ise P(x).Q(x)=?                                           

Örnek6:        ise   çarpım polinomunda li terimin katsayısı kaçtır?

Çözüm:  li terimi bulmak için  ile ,  ile  çarpmak yeterli olacaktır.

           toplarsak    bulunur.

m>n olmak üzere           olsun.

i)  olur.

Sebebini bilelim. P ve Q polinomlarının en büyük terimleri  şeklinde olsun.

  olacağından üssün (derecenin) m+n olduğu görülür.

ii)  olur.

Sebebini bilelim.  olacağından üssün (derecenin) m-n olduğu görülür.

iii)  (m>n)

Sebebini bilelim.  şeklindeki toplamda en büyük üs derece olacağından ve m>n olduğundan derece m olur.

Örnek7:  ise  ise  polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm:  seçelim ve polinomunda yerine yazalım.

 elde edilir ve derecenin 14 olduğu görülür.

Örnek8:                     ise  

Çözüm:    olsun.    denklemleri ortak çözülürse a=7 ve b=5 bulunur.

 seçelim.   olduğundan   bulunur.

Örnek9:         ise 

Çözüm:   , ve    olsun.

 , yani derece 3a+2b olur.     3a+2b=12.............(1)

,  yani derece 2+a-b olur.   2+a-b=1 ................(2)

(1) ve (2) . denklemleri ortak çözersek a=2 ve b=3 elde ederiz.

  ifadesinin derecesinde 3 olduğu görülür.