TANIM: İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyor veya biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyor ise bu çokluklar doğru orantılıdır veya orantılıdır denir.

.a ve b orantılı ise ,  (veya  a=bk) dır. (!doğru orantılı iki çokluğun ORANI (bölümü)sabittir.

.x,y,z sayıları sırasıyla a,b ve c sayılarıyla orantılı ise ,  olur.

yandaki grafikte x artarken y değerinin de arttığı görülüyor.

Örnek1: Bir boyacı 3 saatte 5 daireyi boyarsa aynı koşullarda 21 saatte kaç daireyi boyar.

Çözüm1: Biliyoruz ki süre arttıkça boyacının boyayacağı daire sayısı da artacağından süre ile daire sayısı doğru orantılıdır. Dolayısıyla  ,  3x=5.21, x=35 bulunur.  Veya;

        der ve içler dışlar çarpımı yaparsak  3x=5.21, x=35 bulunur.

Örnek2: (x-1) sayısı (y+3) sayısı ile orantılıdır. x=5 iken y=2 oluyora, x=9 iken y kaç olur?

Çözüm2: (x-1) ile (y+3) sayısı orantılı ise  oranı sabittir. Bu oranı iki kez yanyana yazalım.

= olur. İlk verilen değerleri solda istenen ikinci değerleri de sağ tarafa yazalım.

 bulunur. 

Örnek3: x,y,z sayıları sırasıyla 2,3,5 sayıları ile orantılıdır. x-y+2z=36 ise x kaçtır?

Çözüm3: ve buradan da x=2k, y=3k ve z=5k bulunup yerine yazılırsa,

2k-3k+2.5k=36 , 9k=36 ve buradan da k=4 çıkar. x=2k olduğundan x=2.4=8 bulunur.

Örnek4:  500 tl yaşları  7,8 ve 10 olan üç kardeşe yaşları ile orantılı olarak paylaştırılacaktır. En büyük kardeş kaç lira alır?

Çözüm4: Kardeşler  a,b ve c lira alsın dersek.  a,b ve c sayıları 7,8 ve 10 ile orantılıdır deriz ve örnek1 ile benzer soruya dönüşür.   yazmadan da direk a=7k, b=8k, c=10k yazabiliriz.

a+b+c=500 olduğundan, 7k+8k+10k=500, 25k=500 ve k=20 çıkar. en büyük kardeş 10k=10.20=200 tl alır.

Örnek5: Bir bisikletin ön tekerleği  6 ile, arka tekerleği 5 ile orantılıdır. Bu bisiklet 360 m yol aldığında arka teker ön tekerden 2 tur fazla atıyor ise arka tekerin çevresi kaçtır?

Çözüm5: Ön tekerleğin yarıçapı 6 ile orantılı ise çevresi de 6 ile(6Ç), aynı şekilde arka tekerleğin çevresi de 5 ile (5Ç) orantılı olur. Bilmemiz gereken şey de bir tekerlek 1 turda çevresi kadar yol alır. Dolayısıyla (çevre x tur sayısı) alınan yolu verir.  Ön tekerin attığı tur sayısı x olsun, arka tekerleğin tur sayısı (x+20) olur. Dolayısıyla;

6Ç.x=5Ç.(x+2)=360 olur.

6Ç.x=5Ç.(x+2) eşitliğinden Ç ler sadeleşsin, 6x=5x+10, x=10 çıkar.

5Ç.(x+2)=360  eşitliğinde x=10 yerine yazılırsa 5Ç.12=360, ve 5Ç=30 çıkar. (Dikkat:Arka tekerin çevresine 5Ç demiştik.)

TANIM:İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır denir.

.a ile b ters orantılı ise, dır. (ters orantılı iki çokluğun ÇARPIMI sabittir.)

.a,b,c sayıları sırası ile x,y,z ile ters orantılı ise , ax=by=cz=k olur.

Yandaki grafikte x değeri artarken y değerinin azaldığı görülüyor.

Örnek1: Bir işi aynı kapasitedeki 3 işçi 12 günde yapabiliyorsa, aynı kapasitedeki 4 işçi aynı işi kaç günde yapabilir?

Çözüm1: kişi sayısı artarsa iş daha kısa zamanda biteceğinden, kişi sayısı ile süre ters orantılıdır deriz. (kişi sayısı artıyor ama süre kısalıyor) Dolayısıyla,  bulunur.

Veya;   ve  ters orantı olduğundan  3.12=4.x ve  x=9 bulunur.

Örnek2: (a+3) sayısı ile (b+1) sayısı ters orantılıdır. a=1 iken b=2 oluyorsa , a=3 iken b kaç olur?

Çözüm2: Ters orantılı çoklukların çarpımı sabit olduğundan çarpımı iki kez yazıp eşitleyelim. İlk değerleri ilk eşitlikte, ikinci verileri ikinci eşitlikte yerine yazalım.

(a+3)(b+1)= (a+3).(b+1) ise (1+3).(2+1)=(3+3).(b+1) olur. buradan 4.3=6.(b+1) ve b=1 bulunur.

Örnek3:  x,y,z sayıları sırası ile 2,3 ve 4 ile ters orantılıdır.  x+y+z=65 ise x=?

Çözüm3: Ters orantılı çoklukların çarpımı sabit olduğundan ,

 x.2=y.3=z.4=k şeklinde yazılır  bundan sonra

1.yol:  ,  ve  bulunur ve eşitlikte yerine yazarsak,  elde ederiz. Payda

eşitleyelim,  ve  olduğundan  bulunur.

2.yol: x.2=y.3=z.4 ifadesini 2,3 ve 4 ün katı sabit bir sayıya eşitleyelim.

x.2=y.3=z.4=12k olsun. Buradan x=6k, y=4k, z=3k olur. verilen eşitlikte yerine yazarsak

x+y+z=65 ise 6k+4k+3k=65 ve 13k=65 buradan k=5 çıkar. x=6k olduğundan, x=6.5=30 bulunur.

NOT: Ters orantı problemlerini 2.yoldan yaparsak kesirli ifadelerle uğraşmak zorunda kalmayız.

Örnek4: Bir baba 360 tl yi yaşları 12,15,10 olan olan üç çocuğuna yaşları ile ters orantılı olacak şekilde paylaştırmak istiyor. En az para alan çocuk kaç tl almıştır?

Çözüm4: Kardeşler a,b,c kadar para alsınlar. a,b,c sırasıyla 12,15 ve 10 ile ters orantılıdır deriz. Örnek3 teki 2.yoldan;

a.12=b.15=c.10=180k ise a=15k, b=12k, c=18k olur.

a+b+c=360 ise 15k+12k+18k=360, 45k=360 buradan k=8 çıkar. En az parayı alan da 12k=12.8=96 tl almıştır.

Örnek5: Bir izci kampında  15 kişiye 60 gün yetecek kadar yiyecek vardır. 10 gün sonra kamptan 5 kişi ayrılıyor.

Geriye kalan yiyecek kampta kalanlara daha kaç gün yeter?

Çözüm5: 15 kişiye 60 gün yetecek yiyecek varmış. 10 gün sonra izciler 10 günlük yemeği yerler. 5 kişi ayrlmadan önce son durum da 15 kişiye 50 günlük yemek kalır. Şimdi 5 kişiyi ayıralım elimizde 10 kişi kalır. Şimdi soru bu;

15 kişiye 50 gün yetecek olan yemek 10 kişiye kaç gün yeter?

                    az kişi olunca yemek daha çok gün yeteceğinden ters orantı vardır.

15.50=10.x ve buradan da x=75 çıkar.

TANIM:İçinde üç veya daha çok oran bulunduran orantılardır.

.a sayısı, x ile doğru, y ile ters orantılı ise;

 olur. (x ile orantılı olduğundan bölünüyor, y ile ters orantılı olduğundan çarpılıyor. Ve k sabit.)

Örnek1: x sayısı 3 ile doğru, y ve z sayıları sırasıyla 4 ve 5 ile ters orantılıdır. x+y+z=207 ise y=?

Çözüm1: x, 3 ile doğru orantılı olduğundan   ,  y, 4 ile ters orantılı olduğundan , z, 5 ile ters orantılı

olduğundan  ifadeleri sabit bir sayıya eşittir. Yani;

  (!20 sayısı 4 ve 5 in ekoku dur. İstenirse başka bir sayı verilebilir.) Buradan da,

x=60k, y=5k, z=4k çıkar. x+y+z=207 ise 60k+5k+4k=207, 69k=207 ve k=3 çıkar. y=5k olduğundan y=5.3=15 bulunur.

Örnek2: x sayısı (y+1) ile ters, (z-1) ile doğru orantılıdır. x=4 ve y=1 iken z=3 oluyor. y=3 ve z=5 iken x kaç olur?

Çözüm2: (doğru ve ters orantıdaki örnek2  mantığı ile çözelim.)

   eşitliğin sol yanına x=4, y=1, z=3 ü, sağ yanına da y=3 ve z=5 i yazalım.

 olur.

Örnek3: Aynı kapasitedeki 6 işçi günde 10 saat çalışarak 3 günde 30  halı dokursa,  aynı kapasitedeki 5 işçi günde 6 saat çalışarak 20 halıyı kaç günde dokurlar?

Çözüm3: 1.yol:

2.yol Bu soru tarzı için kısa yol verelim.

Bu yol kullanılırken dikkat edilmesi gereken nokta, yapılan işlerin ne olduğudur. Yapılan 1. İş 30 lik halı dokuma, yapılan 2. iş ise 20  lik halı dokumadır. Verileri yerlerine yazarsak;

 bulunur.

Örnek4: (3.soruyu pekiştirelim):16 işçi günde 8 saat çalışarak 24 parça işi 15 günde bitirebildiklerine göre, 20 işçi günde 5 saat çalışarak 25 parça işi kaç günde bitirebilir?

Çözüm4:    formülünü kullanalım.

Burada yapılan 1.iş 24 parça, 2. İş ise 25 parça olarak alınmalı.

bulunur.

ÖSS SORUSU: Bir aracın duruş mesafesi, frene basıldığı andaki hızının karesiyle doğru orantılıdır. Bu araç saatte  60 km hızla giderken duruş mesafesi 20 m olduğuna göre, saatte 90 km hızla giderken duruş mesafesi  kaç m dir?

ÇÖZÜM: Duruş mesafesi  x, hız v olsun.  Duruş mesafesi hızın karesi ile orantılı olduğundan  ifadesi sabittir.

Alıştığımız üzere sabit olan bu ifadeyi 2 kez yanyana yazalım.

  Verileri yerine yazalım ,  bulunur.