Karmasik Sayilar

Sat, 23 May 2015 16:11:12 +0200

KARMASiK SAYiLAR 1

style='border-collapse:collapse;border:none'>

Simdiye
kadar bildigimiz en genis kume reel sayi kumesiydi. Simdi reel sayilari da
kapsayan bir kume ile tanisalim. Karmasik Sayilar kumesi. C ile gosterilen bu
kume,
style='position:relative;top:5.0pt'> src="anlatim/26/image001.png"> , src="anlatim/26/image002.png">, src="anlatim/26/image003.png"> formatindadir.
Burada a
sayisina reel (gercek) kisim denir ve Re(z) ile gosterilir.
b sayisina
da sanal (imajiner kisim) denir ve im(z) ile gosterilir.

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek:
Z=2+3i
karmasik sayisinin reel kismi Re(z)=2 ve imajiner kismi im(z)=3 tur.
Z=5-2i
karmasik sayisinda Re(z)=5 ve im(z)=-2,
Z=i
karmasik sayisinda Re(z)=0 ve im(z)=1,
Z=7
karmasik sayisinda Re(z)=7 ve im(z)=0 olur.

i' nin kuvvetleri

style='border-collapse:collapse;border:none'>

style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/26/image004.png"> olmak uzere,
olur. Buradan
hareketle i nin tum kuvvetleri bu dort sayidan birine denk olur deriz.
style='border-collapse:collapse;border:none'>

NOT:
src="anlatim/26/image006.png"> olur. Yani ussu 4 ten
buyuk olan ifadeleri 4 e bolup kalani aliriz. (bkz moduler aritmetik)
Mesela, style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/26/image007.png"> sayisini bulmak icin 34 u
4 e boleriz. Kalan 2 oldugundan width=80 height=22 src="anlatim/26/image008.png"> olur
deriz.

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek1: style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/26/image009.png">
Cozum:
usleri 4 e bolup kalanlara bakariz.
34 u 4 e
boldugumuzde kalan 2 oldugundan width=80 height=22 src="anlatim/26/image008.png"> ,
101 i 4
boldugumuzde kalan 1 oldugundan width=70 height=22 src="anlatim/26/image010.png"> ,
2016 yi 4
e boldugumuzde kalan 0 oldugundan width=79 height=22 src="anlatim/26/image011.png"> olur.
Toplam da style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/26/image012.png"> olarak bulunur.

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek2: style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/26/image004.png"> olmak uzere,
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/26/image013.png">
Cozum: Bu
gibi usleri ardisik olarak verilen i nin kuvvetlerinin ilk 4 terimi ve son
terimi hesaplanir.
style='position:relative;top:5.0pt'> src="anlatim/26/image014.png"> ve src="anlatim/26/image015.png"> oldugundan sorumuz,
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/26/image016.png"> haline doner. ilk 4 terimin
toplaminin sifir oldugunu goruyoruz. Bundan sonraki her 4 terim toplami da
sifir olur. Ama son terim i sayisinda kalmis yani 4 lu terim olusturmamis o
yuzden sifir olmaz. Geriye kalan ilk 4 terimdeki i ve ondan onceki
terimlerdir. Yani 'i+1+i kalir. Sonuc da 1 olarak bulunur.

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek3: style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/26/image004.png"> ise, style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/26/image017.png">
style='position:relative;top:5.0pt'> src="anlatim/26/image018.png"> ve src="anlatim/26/image019.png"> oldugundan sorumuz,
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/26/image020.png"> haline doner.
ilk 4 terim
toplami sifir olur. Bundan sonraki her 4 terim toplami sifir olur. En son
geri kalan terim i ve ondan onceki terimler olur. i den onceki terimler
olmadigindan cevap sadece i olur.

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek4: style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/26/image004.png"> ve n dogal sayi olsun.
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/26/image021.png"> toplaminin sonucu kactir?
Cozum: 4n
ifadesi 4 un kati anlamina geldiginden, 4n+2 yi 4 e boldugumuzde kalan 2
olur.
Ayni
sekilde 8n+1 ifadesinin 4 e bolumununden kalan 1 olur. Ayni mantikla devam
edersek 12n+3 ifadesinin 4 e bolumunden kalan 3 olur. Sonuc,
style='position:relative;top:5.0pt'> src="anlatim/26/image022.png"> olur.

iki Karmasik sayinin esitligi

style='border-collapse:collapse;border:none'>

iki
karmasik sayi, height=24 src="anlatim/26/image023.png"> ve style='position:relative;top:6.0pt'> src="anlatim/26/image024.png"> olsun.
style='position:relative;top:6.0pt'> src="anlatim/26/image025.png"> ve src="anlatim/26/image026.png"> olur. Yani reel kisimlar
birbirine esit ve sanal kisimlar da birbirine esit olur.

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek5: style='position:relative;top:15.0pt'> src="anlatim/26/image027.png"> ve src="anlatim/26/image028.png"> olduguna gore x ve y
degerlerini bulalim.
style='position:relative;top:5.0pt'> src="anlatim/26/image029.png"> esitliginde,
esitligin
sol tarafindaki reel kisim olan 2, sag taraftaki reel kisim olan y sayisina
esittir ve y=2 bulunur.
esitligin
sol tarafindaki sanal kisim olan '(x+1), sag tarafin sanal kismi olan 5
sayisina esittir. Buradan da,
-(x+1)=5 ve
x=-6 bulunur.

KARMASiK SAYiNiN ESLENiGi

style='border-collapse:collapse;border:none'>

style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/26/image030.png"> karmasik sayisinin eslenigi
src="anlatim/26/image031.png"> olur.
Dikkat:
Sanal kisim isaret degistiriyor. Noktanin x eksenine gore simetrisi alinir.

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek6: Asagidaki
karmasik sayilarin eslenigini bulalim,
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/26/image032.png"> ise src="anlatim/26/image033.png"> style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/26/image034.png"> ise src="anlatim/26/image035.png">
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/26/image036.png"> ise src="anlatim/26/image037.png"> style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/26/image038.png"> ise src="anlatim/26/image039.png">
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/26/image040.png"> ise src="anlatim/26/image041.png"> style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/26/image042.png"> ise src="anlatim/26/image043.png"> olur.

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ozellikler:
1) style='position:relative;top:6.0pt'> src="anlatim/26/image044.png">
2) style='position:relative;top:15.0pt'> src="anlatim/26/image045.png"> , src="anlatim/26/image046.png">
3) style='position:relative;top:6.0pt'> src="anlatim/26/image047.png">
4) style='position:relative;top:10.0pt'> src="anlatim/26/image048.png">

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek7: style='position:relative;top:6.0pt'> src="anlatim/26/image049.png"> ve src="anlatim/26/image050.png"> ise src="anlatim/26/image051.png">
style='position:relative;top:7.0pt'> src="anlatim/26/image052.png">=
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/26/image054.png">

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ozellik: width=62 height=19 src="anlatim/26/image055.png"> ise style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/26/image056.png"> olur.

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek8: height=24 src="anlatim/26/image057.png">

width=175 height=24 src="anlatim/26/image058.png">

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek9: style='position:relative;top:5.0pt'> src="anlatim/26/image059.png">
style='position:relative;top:5.0pt'> src="anlatim/26/image060.png"> ve src="anlatim/26/image061.png"> oldugundan,
style='position:relative;top:5.0pt'> src="anlatim/26/image062.png"> ve
style='position:relative;top:5.0pt'> src="anlatim/26/image063.png"> olur.
Sonuc style='position:relative;top:5.0pt'> src="anlatim/26/image064.png">olur.

Bir Karmasik Sayinin Modulu (normu, uzunlugu, mutlak degeri,
baslangic noktasina olan uzunlugu)

style='border-collapse:collapse;border:none'>

Z=a+ib olan bir karmasik sayinin orjine olan uzakligi sekilden de
goruldugu uzere Pisagor yapmak demektir.

align=left hspace=12>

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek10:

style='border-collapse:collapse;border:none'>

style='font-size:12.0pt'>oZELLiKLER:
src="anlatim/26/image068.png">

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek11: style='position:relative;top:14.0pt'> src="anlatim/26/image069.png"> ise style='position:relative;top:7.0pt'> src="anlatim/26/image070.png">
style='position:relative;top:16.0pt'> src="anlatim/26/image071.png">

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek12: style='position:relative;top:14.0pt'> src="anlatim/26/image073.png"> ise style='position:relative;top:7.0pt'> src="anlatim/26/image070.png">
3-4-5,
6-8-10, 5-12-13 kenarlarini kullanabiliriz.
style='position:relative;top:16.0pt'> src="anlatim/26/image074.png">

style='border-collapse:collapse;border:none'>

oSS Sorusu:
src="anlatim/26/image075.png"> esitsizligini saglayan z
karmasik sayisini bulunuz.
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/26/image030.png"> olsun. style='position:relative;top:7.0pt'> src="anlatim/26/image076.png"> olur.
style='position:relative;top:4.0pt'> src="anlatim/26/image077.png">+a+ib=3-2i ise style='position:relative;top:4.0pt'> src="anlatim/26/image078.png"> ve src="anlatim/26/image079.png"> olur.
Buradan
b=-2 bulunur. height=26 src="anlatim/26/image078.png"> ifadesinde b=-2
yazarsak ,
style='position:relative;top:4.0pt'> src="anlatim/26/image080.png"> her iki tarafin karesini
alalim,
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/26/image081.png"> ve src="anlatim/26/image082.png"> bulunur. z karmasik sayisi
da src="anlatim/26/image083.png"> bulunur.

Esitsizlikler - 2

Thu, 09 Apr 2015 21:39:50 +0200

ESiTSiZLiKLERDE DELTA (width=14 height=17 src="anlatim/24/image001.png">) KAVRAMi

style='border-collapse:collapse;border:none'>

style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/24/image002.png"> esitsizliginin daima
saglanmasi icin
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/24/image003.png"> ve src="anlatim/24/image004.png"> olmali,
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/24/image005.png"> esitsizliginin daima
saglanmasi icin
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/24/image006.png"> ve src="anlatim/24/image004.png"> olmali.

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek1: style='position:relative;top:5.0pt'> src="anlatim/24/image007.png">esitsizliginin daima
saglanmasi icin m hangi aralikta olmalidir?
Cozum: style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/24/image004.png">olmali.
style='position:relative;top:5.0pt'> src="anlatim/24/image008.png">
style='position:relative;top:5.0pt'> src="anlatim/24/image010.png"> ise kokler style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/24/image011.png"> ve src="anlatim/24/image012.png"> isaret tablosunu yapalim,
width=172 height=77 id="Resim 1" src="anlatim/24/image013.png">
Negatif
olan yerler height=22 src="anlatim/24/image014.png"> araligidir.

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek2: style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/24/image015.png"> esitsizligi style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/24/image016.png">icin saglandigina gore m icin
ne soylenir?
Cozum: Yine
src="anlatim/24/image004.png"> olmali.
style='position:relative;top:5.0pt'> src="anlatim/24/image017.png">

style='border-collapse:collapse;border:none'>

oYS SORUSU:
src="anlatim/24/image019.png"> uc terimlisi x in butun
degerleri icin 5 ten buyuk olduguna gore, a nin deger araligi nedir?
Cozum: style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/24/image020.png"> ise src="anlatim/24/image021.png"> ifadesi daima saglaniyorsa style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/24/image004.png">olmali.
style='position:relative;top:5.0pt'> src="anlatim/24/image022.png"> ve buradan da style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/24/image023.png"> elde edilir.

ESiTSiZLiK SiSTEMi

style='border-collapse:collapse;border:none'>

Birden
fazla esitsizligin olusturdugu sisteme denir. Esitsizliklerin her birini
saglayan degerleri, yani esitsizliklerin kesisimini bulmaya calisacagiz.

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek3: style='position:relative;top:15.0pt'> src="anlatim/24/image024.png"> esitsizlik
sisteminin cozum kumesini bulalim.
once her
bir esitsizligin koklerini bulalim.
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/24/image025.png"> ve src="anlatim/24/image026.png">
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/24/image027.png"> ve src="anlatim/24/image028.png">
isaret
tablosunu cizelim,
width=223 height=118 id="Resim 3" src="anlatim/24/image029.png">
Burada
dikkat edilmesi gereken esitsizlik tablosunda isaretler denklemin kendi
kokunde degisir. Yani
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/24/image030.png"> denkleminin koku olan 3 ve
-3 te isaret degistirdi. x=2 bu denklemin koku olmadigi icin isaret
degistirmedi.
Benzer
sekilde x=-3 , height=22 src="anlatim/24/image031.png">denkleminin koku
olmadigindan isaret degistirmedi.
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/24/image030.png"> un pozitif ve style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/24/image031.png">nin negatif oldugu yerler
olmadigindan cozum kumesi bos kumedir.

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek4: style='position:relative;top:15.0pt'> src="anlatim/24/image033.png"> esitsizlik
sisteminin cozum kumesini bulunuz.
once
kokleri bulalim,
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/24/image034.png"> ve src="anlatim/24/image035.png">
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/24/image036.png"> ve src="anlatim/24/image037.png">
isaret
tablosunu yapalim.
width=223 height=127 id="Resim 5" src="anlatim/24/image038.png">

style='position:relative;top:15.0pt'> src="anlatim/24/image033.png"> saglayan yerler style='position:relative;top:7.0pt'> src="anlatim/24/image039.png"> araligidir.

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek5: style='position:relative;top:14.0pt'> src="anlatim/24/image040.png"> esitsizliginin cozum
kumesini bulalim.
Cozum: style='position:relative;top:4.0pt'> src="anlatim/24/image041.png"> ifadesinin tanimli olmasi
icin src="anlatim/24/image042.png"> olmasi gerekir. Bu yuzden bu
soruyu esitsizlik sistemi gibi dusunebiliriz.
Kokleri bulalim.
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/24/image043.png"> ve src="anlatim/24/image044.png">cift kat kok. isaret
tablosunu yapalim,
width=252 height=130 id="Resim 6" src="anlatim/24/image045.png">

Her iki
esitsizligi saglayan degerlerin width=40 height=22 src="anlatim/24/image046.png">araligi
oldugu gorulur.

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek6:

width=175 height=127 src="anlatim/24/image047.png" align=left
hspace=12>Sekilde height=22 src="anlatim/24/image048.png"> fonksiyonunun
grafigi verildigine gore,
style='position:relative;top:12.0pt'> src="anlatim/24/image049.png"> esitsizligini saglayan x
tamsayilarinin toplamini bulalim.
Cozum:
Esitsizligin carpanlari olan denklemlerin koklerini bulalim.
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/24/image050.png">
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/24/image051.png"> ve src="anlatim/24/image052.png">
style='position:relative;top:5.0pt'> src="anlatim/24/image053.png"> (cift kat) ve style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/24/image028.png"> (bkz esitsizlik1)
Kokler x=0,
x=1, x=3 ve x=-2. Burada dikkat edilmesi gereken nokta x=-2 nin tek kat
oldugudur. Cunku f(x) ten gelen cift kat kok ve dan
gelen tek kok kat var. Cift + tek=tek oldugundan tek kat kok olur.
isaret
tablosunu yapalim.
width=250 height=102 id="Resim 10" src="anlatim/24/image055.png">
Tabloyu
yaparken en onemli nokta 3 ten buyuk degerler icin (-) ile baslamak. Bunu da
grafikten goruyoruz. Grafikte 3 ten buyuk degerlerde f(x) negatif degerler
aliyor. Esitsizlikteki baskatsayilar da + oldugundan en sag negatif ile
baslar.
Kokleri
incelersek, paydayi sifir yapan x=-2 ve x=1 esitsizligi saglamazken, pay
kismini sifir yapan x=0 ve x=3 esitsizligi saglar ve bu yuzden cozum kumesine
eklenir. Cozum kumesi width=136 height=22 src="anlatim/24/image056.png"> olur.
Tam sayilar
toplami da height=19 src="anlatim/24/image057.png"> olur.

Esitsizlikler - 1

Mon, 06 Apr 2015 23:51:41 +0200

ESiTSiZLiKLER 1

style='border-collapse:collapse;border:none'>

style='color:red'>Aralik Kavrami:
width=273 height=122 src="anlatim/23/image001.png" align=left
hspace=12>

Seklinde
olur.

style='border-collapse:collapse;border:none'>

NOT1:
width=234 height=156 src="anlatim/23/image002.png" align=left
hspace=12>
Yandaki
grafikte src="anlatim/23/image003.png"> ve style='position:relative;top:6.0pt'> src="anlatim/23/image004.png">, f(x) fonksiyonunu sifir
yaptigindan koktur. Fonksiyonun isaret tablosunu inceledigimizde style='position:relative;top:6.0pt'> src="anlatim/23/image003.png">in sag tarafinda ( style='position:relative;top:6.0pt'> src="anlatim/23/image003.png">den buyuk degerler icin)
fonksiyon pozitif degerler alirken, sol tarafinda negatif degerler aliyor. style='position:relative;top:6.0pt'> src="anlatim/23/image004.png"> nin saginda ve solunda
fonksiyon pozitif degerler aliyor. isaret tablosu da asagidaki gibi olur.

width=198 height=96 src="anlatim/23/image005.png" align=left
hspace=12>

style='border-collapse:collapse;border:none'>

NOT2: NOT1
deki isaret tablosunda width=17 height=24 src="anlatim/23/image004.png"> nin
saginda ve solunda isaret ayni oldugundan src="anlatim/23/image004.png"> ye cift katli kok denir.
Cift katli kok sorularda karsimiza ,
style='position:relative;top:5.0pt'> src="anlatim/23/image006.png"> veya style='position:relative;top:7.0pt'> src="anlatim/23/image007.png"> seklinde cikacaktir.

style='border-collapse:collapse;border:none'>

TANiM: style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/23/image008.png"> olmak uzere a,b ve c
birer gercek sayi olsun.
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/23/image009.png">, src="anlatim/23/image010.png">, src="anlatim/23/image011.png">, src="anlatim/23/image012.png"> ifadelerine 2. Dereceden
bir bilinmeyenli esitsizlikler denir.

style='border-collapse:collapse;border:none'>

NOT3:
Esitsizligin cozum kumesini bulmak icin src="anlatim/23/image013.png"> denkleminin kokleri
bulunarak isaret tablosu hazirlanir. src="anlatim/23/image014.png"> olsun. isaret tablosu
asagidaki gibi olur.
width=261 height=79 id="Resim 2" src="anlatim/23/image015.png">

style='border-collapse:collapse;border:none'>

NOT4: Cozum
araligini bulduktan sonra koklerin denklemi saglayip saglamadigi kontrol
edilip, cozum kumesine eklenip cikarilacagi uzerine yorum yapilir.

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek1: style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/23/image016.png"> esitsizliginin cozum
kumesini bulalim.
Cozum: style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/23/image017.png"> denkleminin koklerini
bulalim.
width=273 height=100 src="anlatim/23/image018.png" align=left
hspace=12> Carpanlarina ayirirsak width=183 height=26 src="anlatim/23/image019.png"> style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/23/image020.png"> ve style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/23/image021.png"> olur. isaret tablosunu
yapalim,
clear=all>

Sifirdan
kucuk olan yerler height=26 src="anlatim/23/image022.png">araligidir.
x=-2 icin 0<0 ve x=5 icin 0<0 elde edilir. dogru onerme olmadigindan
x=-2 ve
x=5 denklemi saglamaz deriz ve bu yuzden acik parantez kullanilir. (bkz not4)

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek2: style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/23/image023.png"> esitsizliginin cozum
kumesi nedir?
Cozum: style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/23/image024.png"> denkleminin koklerini
bulalim.
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/23/image024.png"> src="anlatim/23/image025.png"> ve style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/23/image026.png">olur. esitsizlik
tablosunu yaparken en sagin negatif olduguna dikkat edelim (a burada -1 dir
ve isareti de (-) dir. bkz not3) isaret tablosu da asagidaki gibi olur.
width=283 height=107 src="anlatim/23/image027.png" align=left
hspace=12>

Cozum
kumesi src="anlatim/23/image028.png">araligidir. (Bizden style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/23/image029.png"> olan yerleri istiyor.) ( style='color:red'>Dikkat: x=3 ve x=-3 denklemi sagladigi icin
kapali parantez kullanildi.)

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek3: style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/23/image030.png"> esitsizliginin cozum
kumesini bulalim.
Cozum:
ifade src="anlatim/23/image031.png">seklinde duzenlenir. style='position:relative;top:7.0pt'> src="anlatim/23/image032.png"> denkleminin koku x=2 dir
ve cift kattir. (bkz not2)
isaret
tablosu da asagidaki gibi olur.

width=155 height=75 src="anlatim/23/image033.png" align=left
hspace=12>
Goruldugu
gibi src="anlatim/23/image034.png"> araliginda yani tum reel
sayilarda src="anlatim/23/image035.png"> ifadesi pozitif degerler
aliyor gibi gorunuyor.
Simdi de
kokleri inceleyelim (bkz not4)
x=2 icin style='position:relative;top:7.0pt'> src="anlatim/23/image036.png"> elde edilir ki dogru bir
onerme olmadigindan denklemi saglamaz. Dolayisiyla cozum araligindan cikarmak
gerekir. src="anlatim/23/image037.png">olur.

style='border-collapse:collapse;border:none'>

src="anlatim/23/image038.png"> seklindeki
esitsizlikler.

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek4: style='position:relative;top:14.0pt'> src="anlatim/23/image039.png"> esitsizliginin cozum
kumesini bulalim.
Cozum: Her
carpanin kokunu bulalim.
style='position:relative;top:21.0pt'> src="anlatim/23/image040.png"> elde edilir.
isaret tablosunda sayilari kucukten buyuge yerlestirelim.
width=199 height=95 src="anlatim/23/image041.png" align=left
hspace=12>

Kokleri de
incelersek paydayi sifir yapan x=3 cozum kumesine eklenmez x=2 ve x=1
denklemi saglar bu yuzden
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/23/image029.png"> saglayan yerler icin style='position:relative;top:5.0pt'> src="anlatim/23/image042.png">olur.
style='color:red'>Dikkat: Burada onemli olan x=3 un saginda yani 3
ten buyuk degerler icin fonksiyonun pozitif degerler aldigini gormektir.
Bunun icin x yerine 3 ten buyuk bir deger verilebilir veya daha kisasi
ifadede her bir carpanin baskatsayisinin isaretlerini carpmaktir. Yani
x-2 nin
baskatsayisi 1 dir, isareti de + dir
x-1 in
baskatsayisi 1 dir ve isareti + dir.
x-3 un
baskatsayisi 1 dir ve isareti + dir.
3 adet +
isaretinin carpimi + oldugundan tablonun en sagi + ile basladi.

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek5: style='position:relative;top:14.0pt'> src="anlatim/23/image043.png"> esitsizligini saglayan
x tamsayilari kac tanedir?
Cozum: style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/23/image044.png"> ve style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/23/image045.png">
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/23/image046.png"> ve
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/23/image047.png"> koklerimiz.
Goruldugu
gibi x=1 den iki kok (yani cift kat oldu) x=-1 den ve x=-3 ten birer
kok var. Burada onemli olan x=1 kokunun iki carpanda oldugunu gorup cift kat
olarak tabloya eklemektir.
Baskatsayinin
isaretlerine bakarsak hepsi + oldugundan en sag + ile baslar.

width=178 height=87 src="anlatim/23/image048.png" align=left
hspace=12>
x=1 cift
kat kok oldugundan isaret degistirmedik. Simdi kokleri inceleyelim.
x=-3
paydayi sifir yaptigindan c.k ne eklenmez. x=-1 ve x=1 pay kisminda ve
esitlik oldugu icin esitsizligi saglar ve c.k ne eklenir.
Bizden style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/23/image049.png"> yapan yerleri istiyordu.
src="anlatim/23/image050.png">olur. esitsizligi
saglayan tamsayilar da , width=67 height=26 src="anlatim/23/image051.png"> olur.

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek6: style='position:relative;top:12.0pt'> src="anlatim/23/image052.png"> esitsizligini saglayan
sayilarin cozum kumesi nedir?
Cozum:
kokleri bulalim.
style='position:relative;top:7.0pt'> src="anlatim/23/image053.png">
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/23/image044.png"> ve style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/23/image045.png">
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/23/image054.png"> denkleminin ise koku
yoktur.
x=1 den ilk
carpanda 2015 tane, ikinci carpanda da 1 tane var. Dolayisiyla x=1 cift
kat koktur.(2015+1=2016 cift sayi)
x=-1 den
ise 1 kok vardir o yuzden tek kat koktur. isaret tablosunu yapalim.
width=224 height=109 src="anlatim/23/image055.png" align=left
hspace=12> Baskatsayilarin isaretleri carpimi + oldugundan en
sag + ile baslar.
Kokler
esitsizligi saglamadigindan c.k ne dahil edilmez.
style='position:relative;top:7.0pt'> src="anlatim/23/image056.png"> olur.

style='border-collapse:collapse;border:none'>

style='font-size:14.0pt;color:red'>*ornek7: style='position:relative;top:12.0pt'> src="anlatim/23/image057.png"> esitsizliginin cozum
kumesi nedir?
Cozum: Her
zamanki gibi kokleri bulalim.
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/23/image058.png"> denkleminin koku yoktur.
(dikkat: src="anlatim/23/image008.png"> olmak uzere style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/23/image059.png"> ifadesini sifir yapan
deger yoktur)
style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/23/image060.png"> denkleminin de reel koku
yoktur. ( src="anlatim/23/image061.png"> oldugundan reel kok
yoktur. Bkz 2. Derece denklemler)
style='position:relative;top:7.0pt'> src="anlatim/23/image062.png">cift kat koktur.
(bkz NOT2) .isaret tablosu da asagidaki gibi olur.

width=224 height=109 src="anlatim/23/image063.png" align=left
hspace=12>
Baskatsayilarin
isaretlerine baktigimizda en sag negatif isaretli olur.
( style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/23/image064.png"> nin baskatsayisi -1 ve
isareti de ' dir.)
Kokleri
incelersek, x=-1 denklemi saglar. Bizden src="anlatim/23/image029.png"> olan yerleri istiyor. Boyle
bir yer tabloda olmadigindan cozum kumesi sadece x=-1 dir. style='position:relative;top:5.0pt'> src="anlatim/23/image065.png">

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek8: style='position:relative;top:5.0pt'> src="anlatim/23/image066.png"> olmak uzere,
style='position:relative;top:12.0pt'> src="anlatim/23/image067.png"> esitsizliginin cozum
kumesini bulalim.
Cozum8: Her
zamanki gibi kokleri bulalim.
x+m=0 ise
x=-m, x+p=0 ise x=-p ve x+n=0 ise x=-n olur. isaret tablosunda kokleri
kucukten buyuge yerlestirecegiz.
(m=-1, n=1
ve p=2 alinirsa 'm=1, -p=-2 ve 'n=-1 olur. -2<-1<1 oldugundan 'p<-n<-m
olur.
isaret
tablosunun en sagi icin katsayilarin isaretlerine bakarsak tum baskatsayilar
1 dir, demek ki en sag + dan baslayacak.

width=201 height=98 src="anlatim/23/image068.png" align=left
hspace=12>
kokleri
incelersek paydada olan 'n denklemi saglamazken, pay kisminda olan 'm ve -p
esitik oldugu icin denklemi saglar.

Bizden style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/23/image049.png"> olan yerleri istiyor. O
halde cozum kumesi height=22 src="anlatim/23/image069.png">olur.

2. Dereceden Denklemler - 3

Sat, 04 Apr 2015 14:14:16 +0200

2. DERECEN DENKLEMiN KoKLERi iLE KATSAYiLARi ARASiNDAKi BAGiNTiLAR

style='border-collapse:collapse;border:none'>

2. derece
denklemlerde en onemli noktalardan biri koklerin katsayilar ile olan
iliskisidir.
NOT: style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/22/image001.png">=0 denkleminin
kokleri src="anlatim/22/image002.png"> ve style='position:relative;top:6.0pt'> src="anlatim/22/image003.png"> olsun.
Kokler
toplami height=23 src="anlatim/22/image002.png">+ style='position:relative;top:6.0pt'> src="anlatim/22/image003.png">= style='position:relative;top:12.0pt'> src="anlatim/22/image004.png"> dir.
(sebebini
bilelim: src="anlatim/22/image005.png"> ve style='position:relative;top:12.0pt'> src="anlatim/22/image006.png"> oldugunu biliyoruz.

style='position:relative;top:6.0pt'> src="anlatim/22/image002.png">+ style='position:relative;top:6.0pt'> src="anlatim/22/image003.png">= style='position:relative;top:12.0pt'> src="anlatim/22/image007.png"> bulunur.)
Kokler
carpimi: height=23 src="anlatim/22/image002.png">. style='position:relative;top:6.0pt'> src="anlatim/22/image003.png">= style='position:relative;top:12.0pt'> src="anlatim/22/image008.png"> dir.
(sebebini
bilelim: src="anlatim/22/image002.png">. style='position:relative;top:6.0pt'> src="anlatim/22/image003.png">= style='position:relative;top:12.0pt'> src="anlatim/22/image009.png"> , style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/22/image010.png"> yerine yazalim,
style='position:relative;top:12.0pt'> src="anlatim/22/image011.png"> bulunur.
Kokler
farki: height=51 src="anlatim/22/image012.png"> (kokler
toplaminda gosterilen yoldan bulunabilir)

style='border-collapse:collapse;border:none'>

ornek1: style='position:relative;top:3.0pt'> src="anlatim/22/image013.png"> denkleminin,
(burada a=2, b=4 ve c=-2 dir)
kokler
toplami height=41 src="anlatim/22/image014.png">,
Kokler
carpimi height=41 src="anlatim/22/image015.png">,
Kokler
farki height=48 src="anlatim/22/image016.png"> ,
seklinde bulunur

style='border-collapse:collapse;border:none'>

Matematik Sorusu

Karmasik Sayilar

Esitsizlikler - 2

Esitsizlikler - 1

2. Dereceden Denklemler - 3

2. Dereceden Denklemler - 2

2. Dereceden Denklemler - 1

Polinomlar - 3

Polinomlar - 2

Polinomlar - 1

Sayi Kesir Problemleri - 2